Les champs à huit : étoiles et croix

Un khatem isolé est un emblème. Un mur de khatems est un champ : un motif qui se répète sans fin dans les deux directions, et qui pourrait couvrir n’importe quelle surface. C’est l’essentiel du zellige, celui des lambris, des sols et des fontaines. Cette leçon montre deux façons d’y arriver, toutes deux dans le système à huit.

La période

Tout champ a une plus petite unité qui, répétée comme un carrelage, reconstitue le motif. Les mathématiciens l’appellent la période, ou la maille. Elle n’est pas forcément visible : ses bords ne suivent pas les joints. Mais c’est elle que l’on dessine, puis que l’on répète. Les mosaïstes la connaissent intuitivement : c’est le module qu’ils comptent en posant.

Premier champ : étoile et croix

C’est l’un des motifs les plus répandus du monde islamique, du Maroc à l’Iran, où il orne aussi des carreaux lustrés de Kashan. Sa construction est la suite directe de la leçon 4.

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   Une grille carrée de pas a.

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   Sur chaque nœud, un cercle de rayon a/2.

3. 3

   Dans chaque cercle, un khatem de deux carrés.

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   Les étoiles et, entre elles, les croix (qamarchouna).

1. On trace une grille carrée de pas a.
2. Sur chaque nœud, un cercle de rayon a/2. Chaque cercle touche ses quatre voisins.
3. Dans chaque cercle, un khatem. Les pointes horizontales et verticales de deux étoiles voisines se touchent, pointe contre pointe.
4. Au centre de chaque case reste une croix aux bouts effilés, la qamarchouna. Ses quatre encoches en V épousent les pointes diagonales des étoiles.

Il n’y a aucun vide et aucune pièce de remplissage : deux formes suffisent à couvrir le plan. Le calcul le confirme. Pour une grille de pas a, l’étoile occupe environ 0,59 a² et la croix 0,41 a² : les deux réunies font exactement une case. Tous les sommets ferment à 360°, ce qui garantit que les pièces s’emboîtent sans forcer.

Second champ : les polygones en contact

Pour des motifs plus riches, les maîtres partent d’un pavage de polygones simples, puis tracent leurs lignes à l’intérieur. L’Anglais Ernest Hanbury Hankin a décrit cette méthode en 1925 en observant des motifs indiens ; Jay Bonner en a fait en 2017 l’outil central de son histoire des motifs géométriques, et Craig Kaplan l’a programmée en 2005. Nos propres motifs sont dessinés ainsi.

La recette tient en trois gestes :

1. On choisit un pavage. Ici, le pavage dit 4.8.8 : des octogones réguliers et des carrés, qui couvrent le plan sans trou.
2. Au milieu de chaque côté de chaque polygone, on trace deux segments, symétriques, qui partent vers l’intérieur avec un même angle, l’angle de contact.
3. On prolonge ces segments jusqu’à ce qu’ils se rencontrent. Les lignes ainsi obtenues forment les étoiles ; les polygones de départ disparaissent.

1 La grille 2 Le tracé 3 Les tesselles ↻ Rejouer

Dans chaque octogone naît une étoile à huit branches ; dans chaque carré, une petite étoile à quatre. Entre elles, des hexagones allongés, les msedds, font la liaison. En faisant varier l’angle de contact, on obtient des étoiles plus ou moins aiguës, à partir du même pavage : c’est la souplesse de la méthode.

Dans les monuments

Les champs à huit couvrent les grands lambris mérinides de Fès. La base de données Tiling Search du MIT, constituée par Brian Wichmann à partir des photographies de David Wade et d’autres, en répertorie plusieurs à la médersa Bou Inania ; l’un d’eux, qui associe des étoiles à seize et à huit branches, compte quelque cinq cents polygones.

Des chercheurs ont aussi montré que certains panneaux marocains anciens, comme ceux de la fontaine Nejjarine à Fès, reposent sur une grille octogonale qui ne se répète pas tout à fait : une géométrie quasi périodique, que les maîtres obtenaient sans la nommer. Les constructions andalouses et marocaines, notent-ils, diffèrent d’ailleurs dans le détail.

À retenir pour la suite

Le champ étoile-et-croix est la meilleure école : il oblige à construire proprement, car la moindre erreur se voit dès la troisième étoile. Faites l’exercice avant de passer aux rosaces, où le même principe s’applique avec douze et seize branches.